ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente,  pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

EJEMPLOS

Ejemplo ilustrativo:

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS MEDIOS 

las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para el ángulo medio o mitad. Todas se deducen de la fórmula o identidad para el coseno del ángulo doble mediante una simple sustitución En este video vamos a deducir las expresiones para representar el seno, el coseno y la tangente del ángulo mitad. Comenzaremos hallando la expresión para representar el seno de equis medios, para lograr esto partimos de la identidad del seno ángulo doble y despejaremos a seno de alfa, luego lo que se hace una vez se despeja al seno es sustituir el ángulo alfa por el ángulo equis medios, al realizar todas estas operaciones llegamos a que el seno de equis medios es igual a más o menos raíz cuadrada de la resta entre un medio y coseno de equis medios, es decir sen x/2=±√(1/2-cosx/2). Para representar el coseno de equis medios partirnos de la identidad del coseno del ángulo doble y despejaremos el coseno de alfa, luego lo que se hace una vez se despeja al coseno es sustituir el ángulo alfa por el ángulo equis medios, al realizar todas estas operaciones llegamos a que el coseno de equis medios es igual a más o menos raíz cuadrada de la suma entre un medio y coseno de equis medios, es decir cos x/2=±√(1/2+cosx/2). Para representar la tangente de equis medios lo que hacemos es dividir las dos expresiones anteriores ya que sabemos que la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno del ángulo, es decir, que la tangente de equis medios es igual al seno de equis medios sobre el coseno de equis medios, al efectuar esta operación llegamos a que tangente de equis medios es igual a la división entre más o menos raíz cuadrada de la resta entre un medio y coseno de equis medios y más o menos raíz cuadrada de la suma entre un medio y coseno de equis medios y simplificando vemos que es igual a más o menos raíz de la división entre uno menos coseno de equis y uno más coseno de equis, es decir tan x/2=±√((1-cosx)/(1+cosx)).

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS DOBLES 

Las identidades de ángulo doble (estas realmente son solo casos especiales de las fórmulas de Bhaskara Acharya, donde u = v )

Ejemplo:

Reescriba en una forma más simple usando una identidad trigonométrica:

2sin(5 p )cos(5 p )

Usando la fórmula de ángulo doble para el seno, donde

Aplicando la fórmula, obtenemos

IDENTIDADES PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

este tipo de identidades muestra una suma o una adición para un angulo; la idea es poder expresar un angulo cualquiera en función de un suma o una resta ; ademas este tipo de identidades generalizar la teoría de las identidades trigonométricas de la siguiente forma:

sen(alfa+ beta)= sen alfa. cos beta + sen beta. cos alfa 
sen(alfa- beta)= sen alfa . cos beta - sen beta . cos alfa 
cos(alfa+ beta)= cos alfa.cos beta - senalfa .sen beta 
cos(alfa - beta)= cos alfa.cos beta + senalfa .sen bet

ejemplo:
sen (x+2pi) = sen x 
sen(alfa+ beta)= sen alfa. cos beta + sen beta. cos alfa 
= sen x . cos 2pi + sen 2pi . cos x
=senx.1+0.cosx 
=senx+0
=sen x

IDENTIDADES 

Una identidad matemática es un tipo de igualdad matemática, entre expresiones algebraicas que se verifica para cualquier valor de alguna variable de todas las que intervienen en la expresión. No es más que el comportamiento de dichas expresiones, como van a reaccionar ante cualquier valor que queramos estudiar, podríamos decir, hablando de modo figurado, que es la “personalidad” que poseen unas expresiones algebraicas concretas.

Un ejemplo sencillo:

ax + bx = x(a+b)

Es una identidad ya que, cualesquiera que sean los valores de a, b y x, la igualdad que escribimos más arriba se cumplirá siempre. Entonces si lo ponemos en números:

a= 1, b=2 y x=3

ax + bx = x (a+b) -> 1.3 + 2.3 = 3 (1+2) -> 3 + 6 = 3.3 -> 9=9

Por tanto, la igualdad se cumple.

Sin daros cuenta habréis visto montones de estas identidades, cuando estudiasteis las funciones algebraicas y sus propiedades (distributiva, conmutativa, asociativa, etc.), aquí simplemente se les da un nombre concreto a este fenómeno.

GRÁFICA DE FUNCIÓN COSECANTE 

Representación gráfica de la función cosecante Utilizando ángulos notables y partiendo del hecho de que la función cosecante es una función racional, pues se define como el cociente entre uno y la función seno, podemos dibujar la función valiéndonos de las imágenes de esos ángulos y de las asíntotas verticales que posee la función justo en los valores que el seno se hace cero.

GRÁFICA DE FUNCIÓN SECANTE 

epresentación gráfica de la función secante Utilizando ángulos notables y partiendo del hecho de que la función secante es una función racional, pues se define como el cociente entre uno y coseno, podemos dibujar la función valiéndonos de las imágenes de esos ángulos y de las asíntotas verticales que posee la función justo en los valores que el coseno se hace cero En este video vamos a hablar acerca de la función secante y su representación gráfica. En los videos anteriores veíamos que la secante de un ángulo era la relación inversa o inverso multiplicativo del coseno y sabemos también que el coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud del segmento, además sabemos que al hacer esta definición con base en la circunferencia unitaria el coseno simplemente es el valor de la coordenada X. Para graficar la función secante solo tenemos que hacer una tabla de valores donde expresemos el inverso multiplicativo del coseno teniendo en cuenta que en los videos anteriores se habían definido estos valores para los ángulos notables, tales como 0°, 90°, 180°, 270° y 360° grados. . Como vemos la función secante presenta el mismo inconveniente de la función tangente y es no estar definida para los valores en los cuales el coseno del ángulo adquiere el valor de cero, se dice entonces que la gráfica de la función está delimitada por estos valores mediante una líneas imaginarias llamadas asíntotas, esto quiere decir que la función nunca tocará estas líneas imaginarias y que la función tiene hacia el infinito cerca de estos puntos. En el video se muestra detalladamente estos aspectos y los pasos requeridos para construir la gráfica, como se puede apreciar esta función no es continua para todos los valores que pueda tomar un ángulo y puede tomar signos negativos según el cuadrante en donde se exprese el coseno del ángulo.