ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente,  pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

EJEMPLOS

Ejemplo ilustrativo:

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS MEDIOS 

las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para el ángulo medio o mitad. Todas se deducen de la fórmula o identidad para el coseno del ángulo doble mediante una simple sustitución En este video vamos a deducir las expresiones para representar el seno, el coseno y la tangente del ángulo mitad. Comenzaremos hallando la expresión para representar el seno de equis medios, para lograr esto partimos de la identidad del seno ángulo doble y despejaremos a seno de alfa, luego lo que se hace una vez se despeja al seno es sustituir el ángulo alfa por el ángulo equis medios, al realizar todas estas operaciones llegamos a que el seno de equis medios es igual a más o menos raíz cuadrada de la resta entre un medio y coseno de equis medios, es decir sen x/2=±√(1/2-cosx/2). Para representar el coseno de equis medios partirnos de la identidad del coseno del ángulo doble y despejaremos el coseno de alfa, luego lo que se hace una vez se despeja al coseno es sustituir el ángulo alfa por el ángulo equis medios, al realizar todas estas operaciones llegamos a que el coseno de equis medios es igual a más o menos raíz cuadrada de la suma entre un medio y coseno de equis medios, es decir cos x/2=±√(1/2+cosx/2). Para representar la tangente de equis medios lo que hacemos es dividir las dos expresiones anteriores ya que sabemos que la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno del ángulo, es decir, que la tangente de equis medios es igual al seno de equis medios sobre el coseno de equis medios, al efectuar esta operación llegamos a que tangente de equis medios es igual a la división entre más o menos raíz cuadrada de la resta entre un medio y coseno de equis medios y más o menos raíz cuadrada de la suma entre un medio y coseno de equis medios y simplificando vemos que es igual a más o menos raíz de la división entre uno menos coseno de equis y uno más coseno de equis, es decir tan x/2=±√((1-cosx)/(1+cosx)).

IDENTIDADES PARA ÁNGULOS DOBLES 

Las identidades de ángulo doble (estas realmente son solo casos especiales de las fórmulas de Bhaskara Acharya, donde u = v )

Ejemplo:

Reescriba en una forma más simple usando una identidad trigonométrica:

2sin(5 p )cos(5 p )

Usando la fórmula de ángulo doble para el seno, donde

Aplicando la fórmula, obtenemos

IDENTIDADES PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

este tipo de identidades muestra una suma o una adición para un angulo; la idea es poder expresar un angulo cualquiera en función de un suma o una resta ; ademas este tipo de identidades generalizar la teoría de las identidades trigonométricas de la siguiente forma:

sen(alfa+ beta)= sen alfa. cos beta + sen beta. cos alfa 
sen(alfa- beta)= sen alfa . cos beta - sen beta . cos alfa 
cos(alfa+ beta)= cos alfa.cos beta - senalfa .sen beta 
cos(alfa - beta)= cos alfa.cos beta + senalfa .sen bet

ejemplo:
sen (x+2pi) = sen x 
sen(alfa+ beta)= sen alfa. cos beta + sen beta. cos alfa 
= sen x . cos 2pi + sen 2pi . cos x
=senx.1+0.cosx 
=senx+0
=sen x

IDENTIDADES 

Una identidad matemática es un tipo de igualdad matemática, entre expresiones algebraicas que se verifica para cualquier valor de alguna variable de todas las que intervienen en la expresión. No es más que el comportamiento de dichas expresiones, como van a reaccionar ante cualquier valor que queramos estudiar, podríamos decir, hablando de modo figurado, que es la “personalidad” que poseen unas expresiones algebraicas concretas.

Un ejemplo sencillo:

ax + bx = x(a+b)

Es una identidad ya que, cualesquiera que sean los valores de a, b y x, la igualdad que escribimos más arriba se cumplirá siempre. Entonces si lo ponemos en números:

a= 1, b=2 y x=3

ax + bx = x (a+b) -> 1.3 + 2.3 = 3 (1+2) -> 3 + 6 = 3.3 -> 9=9

Por tanto, la igualdad se cumple.

Sin daros cuenta habréis visto montones de estas identidades, cuando estudiasteis las funciones algebraicas y sus propiedades (distributiva, conmutativa, asociativa, etc.), aquí simplemente se les da un nombre concreto a este fenómeno.

GRÁFICA DE FUNCIÓN COSECANTE 

Representación gráfica de la función cosecante Utilizando ángulos notables y partiendo del hecho de que la función cosecante es una función racional, pues se define como el cociente entre uno y la función seno, podemos dibujar la función valiéndonos de las imágenes de esos ángulos y de las asíntotas verticales que posee la función justo en los valores que el seno se hace cero.

GRÁFICA DE FUNCIÓN SECANTE 

epresentación gráfica de la función secante Utilizando ángulos notables y partiendo del hecho de que la función secante es una función racional, pues se define como el cociente entre uno y coseno, podemos dibujar la función valiéndonos de las imágenes de esos ángulos y de las asíntotas verticales que posee la función justo en los valores que el coseno se hace cero En este video vamos a hablar acerca de la función secante y su representación gráfica. En los videos anteriores veíamos que la secante de un ángulo era la relación inversa o inverso multiplicativo del coseno y sabemos también que el coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud del segmento, además sabemos que al hacer esta definición con base en la circunferencia unitaria el coseno simplemente es el valor de la coordenada X. Para graficar la función secante solo tenemos que hacer una tabla de valores donde expresemos el inverso multiplicativo del coseno teniendo en cuenta que en los videos anteriores se habían definido estos valores para los ángulos notables, tales como 0°, 90°, 180°, 270° y 360° grados. . Como vemos la función secante presenta el mismo inconveniente de la función tangente y es no estar definida para los valores en los cuales el coseno del ángulo adquiere el valor de cero, se dice entonces que la gráfica de la función está delimitada por estos valores mediante una líneas imaginarias llamadas asíntotas, esto quiere decir que la función nunca tocará estas líneas imaginarias y que la función tiene hacia el infinito cerca de estos puntos. En el video se muestra detalladamente estos aspectos y los pasos requeridos para construir la gráfica, como se puede apreciar esta función no es continua para todos los valores que pueda tomar un ángulo y puede tomar signos negativos según el cuadrante en donde se exprese el coseno del ángulo.

GRÁFICA DE FUNCIÓN COTANGENTE 

Las relaciones trigonométricas también pueden ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo.

Esta medida de ángulo puede ser dada en grados o radianes . Aquí, usaremos radianes. Ya que cualquier ángulo con una medida mayor que 2 π radianes o menor que 0 es equivalente a algún ángulo con medida 0 ≤ θ < 2 π , todas las funciones trigonométricas sonperiódicas .

GRÁFICA DE FUNCIÓN TANGENTE 

Las relaciones trigonométricas pueden tambien ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo. Esta medida de ángulo puede estar dada en grados o radianes . Aquí, usaremos los radianes.

Ya que,  la función tangente no está definida en cos x = 0. Por lo tanto, la función tangente tiene una asíntota vertical donde cos x = 0.

Similarmente, cada una de las funciones tangente y seno tienen ceros en múltiplos enteros de  porque tan x = 0 cuando sin x = 0.

La gráfica de una función tangente y = tan x se ve de la siguiente forma:

GRÁFICA DE FUNCIÓN COSENO

En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el catetoadyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar este sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

GRÁFICA DE FUNCIÓN SENO

Nuestro objetivo ahora es graficar la función . Cada punto en ésta gráfica tendrá la forma  con los valores de  en radianes. El primer paso es colectar en una tabla todos los valores de  que conozcas. Para empezar vamos a usar los valores de θ entre 0° y 180° 

ANGULO DE DIFERENCIAS

 la fórmula para encontrar el seno de la diferencia (resta) de dos ángulos con un ejemplo práctico de como usarla. Para encontrar la fórmula se parte de otra conocida; seno de la suma. Se expresa la resta de los dos ángulos como una suma para poder deducir usar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos. Sen(A-B) = Sen (A+(-B)) En los videos anteriores habíamos encontrado una identidad para expresar el seno de la suma de dos ángulos, en este video queremos encontrar y mostrar la deducción para encontrar una expresión para el seno de la resta de dos ángulos. Para esta deducción partiremos de la identidad que expresa el seno de la suma de dos ángulos que dice que el seno de alfa más beta es igual a seno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por seno de beta sen(a+β)=senαcosβ+cosαsenβ, partimos de esta expresión ya que el coseno de alfa menos beta se puede expresar de la siguiente manera sen(a-β)=sen(a+(-β)), como se ve si expresamos la resta de ángulos como una suma, podemos aplicar la identidad vista en el video anterior, según esto podemos decir que: sen(a-β)= sen(a+(-β))=senαcos(-β)+cosαsen(-β), sabemos por los videos ya vistos que el coseno de menos beta es igual al coseno de beta ya que la función coseno es una función par y que el seno de menos beta es igual al seno negativo de beta ya que la función seno es una función impar, reemplazando estas equivalencias tenemos que el seno de alfa menos beta es igual seno de alfa por coseno de beta menos coseno de alfa por seno de beta que es lo que queríamos encontrar, matemáticamente: sen(a-β)= senαcosβ-cosαsenβ. Como vemos esta solución es una nueva identidad que podemos utilizar siempre cuando nos pidan hallar el seno de la resta de dos ángulos cualesquiera. En el video se muestra de manera más detallada cada uno de los pasos para llegar a la demostración de esta identidad.

FUNCIÓN CIRCULAR 

Las Funciones Circulares son aquellas funciones trigonométricas que hacen referencia a la circunferencia.

Por el contrario, se denominan funciones hiperbólicas a aquellas funciones trigonométricas que hacen referencia a la hipérbola.

Veamos a continuación cuáles son las funciones circulares:

• Función Seno: f(x) = sen x

• Función Coseno: f(x) = cos x

• Función Tangente: f(x) = tg x 

• Función Cotangente: f(x) = cotg x

• Función Secante: f(x) = sec x

•  Función Cosecante: f(x) = cosec x

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno(1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

El triángulo rectángulo presenta dos ángulos agudos y un ángulo recto. A partir de esta estructura de los ángulos es posible calcular las razones trigonométricas de dichos triángulos. De esta manera, si en un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm, es posible calcular la distancia del menor ángulo agudo aplicando el teorema de Pitágoras (en este caso el resultado final sería de un ángulo menor de 25 grados, pues el teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados de los catetos).

El triángulo rectángulo presenta una característica: es una figura geométrica triangular en la que uno de sus lados mide 90 grados y sus dos lados restantes son opuestos al primero y reciben el nombre de catetos. El lado más grande que lo forma es conocido como la hipotenusa y siempre se opone al ángulo que forman los catetos.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

PLANO CARTESIANO 

plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su nombre cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes.

Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.

La finalidad del plano cartesiano es ubicar parejas de puntos llamadas coordenadas que se forman con un valor X y un valor Y representado como P(X,Y) por ejemplo: P(3,4) se puede observar que el 3 pertenece al eje de las abscisas y, el 4 al eje de las ordenadas.

Asimismo, sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como: parábola, hipérbole, línea, circunferencia y eclipse, los cuales forman parte de la geometría analítica.

FUNCIONES EN UN PLANO CARTESIANO 

Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio). Por ejemplo: f(x)=3x

Función de x	Dominio	Contra dominio
f(2)=3x	2	6
f(3)=3x	3	9
f(4)=3x	4	12

La relación del dominio y el contra dominio es biunivoca significando que tiene solo dos puntos correctos.

RAZONES TRIGOMOMETRICAS

  

ÁNGULOS 

Se conoce como ángulo a la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice. En otros casos se hace referencia a la abertura que conforman dos lados que parten de ese punto común, o se centran en el giro que da el plano respecto de su origen. Estos conceptos corresponden a la geometría, que es una de las ramas de las matemáticas, pero que encuentran innumerables aplicaciones en muchísimos otros campos, como la ingeniería, la óptica o la astronomía. En todos los casos se hace referencia a un punto en común, con dos líneas que parten desde ese punto y que generan una cierta apertura, representada por un arco. El grado de apertura de esos arcos (y no su extensión) está representado por el ángulo, sin importar cuán lejos o cerca se haga del vértice.

El concepto de ángulo, entonces, hace referencia a una magnitud que puede ser analizada y comparada con otras, por lo que existen operaciones entre ellos. Para eso, la medición de los ángulos se hace en grados, minutos, y segundos. Los primeros (representados con el signo °) equivalen a 60 de los segundos (representados con ’), que a su vez equivalen a 60 de los terceros (representados con ’’). La cantidad de grados podrá ascender hasta 360, que es considerado el giro completo. Por poner un ejemplo cotidiano que ejemplifique esto, podemos ver el reloj de agujas: constantemente las agujas están formando ángulos. A las 12 en punto, cuando las dos agujas apuntan exactamente para el mismo lado, el ángulo es de 0°. A las 3 pasa a ser de 90°, a las 6 de 180°, a las 9 de 270°, y en el giro de las 12 de nuevo serán los 360°, y volverá a empezar.